در یک دنباله حسابی جمله یازدهم ۲۰ واحد کمتر از جمله سوم است. اگر جمله نهم دنباله ۱۷ باشد، جمله دهم دنباله را بنویسید.

برای حل این مسئله، ابتدا باید بدانیم دنباله حسابی چیست. در یک دنباله حسابی، هر جمله از جمع جمله قبلی و یک اختلاف ثابت (d) به دست می‌آید. بیایید با توجه به اطلاعات داده شده، این معادلات را بنویسیم: 1. به ما گفته شده است که جمله یازدهم ۲۰ واحد کمتر از جمله سوم است. اگر \( a_n \) جمله نهم دنباله باشد، داریم: \[ a_{11} = a_3 - 20 \] 2. همچنین گفته شده است که جمله نهم دنباله ۱۷ است، بنابراین: \[ a_9 = 17 \] برای یک دنباله حسابی، روابط میان جملات به شکل زیر است: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] از این رابطه می‌توانیم برای هر یک از جملات استفاده کنیم: - جمله نهم: \[ a_9 = a_1 + 8d = 17 \] - جمله یازدهم: \[ a_{11} = a_1 + 10d \] - جمله سوم: \[ a_3 = a_1 + 2d \] حالا از رابطه اول می‌توانیم بنویسیم: \[ a_{11} = a_3 - 20 \] بنابراین: \[ a_1 + 10d = (a_1 + 2d) - 20 \] حالا معادله را ساده کنیم: \[ a_1 + 10d = a_1 + 2d - 20 \] با کم کردن \( a_1 \) از هر دو طرف: \[ 10d = 2d - 20 \] حالا \( 2d \) را از دو طرف کم می‌کنیم: \[ 8d = -20 \] پس: \[ d = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} \] حالا که \( d \) را پیدا کردیم، می‌توانیم به سمت جستجوی \( a_1 \) برویم. از معادله \( a_9 \): \[ a_1 + 8\left(-\frac{5}{2}\right) = 17 \] محاسبه کنیم: \[ a_1 - 20 = 17 \] حالا \( a_1 \) را به دست می‌آوریم: \[ a_1 = 37 \] حالا با استفاده از \( a_1 \) و \( d \)، می‌توانیم جمله دهم را پیدا کنیم: \[ a_{10} = a_1 + 9d = 37 + 9\left(-\frac{5}{2}\right) \] محاسبه کنیم: \[ a_{10} = 37 - \frac{45}{2} = 37 - 22.5 = 14.5 \] بنابراین، جمله دهم دنباله برابر ۱۴.۵ است. پاسخ نهایی: \[ \text{جمله دهم: } 14.5 \]